Формулы расчета последовательного колебательного контура

Здесь будет немного теории колебательного контура с отступлениями и комментариями. Надеюсь, что эта информация будет полезна не только студентам и школьникам, но и поможет радиолюбителям, дополнив практику теорией, может быть забытой кем-то, может для кого-то новой.

Последовательный колебательный контур – это цепь, составленная из последовательно соединенных индуктивности и ёмкости.(рис1) последовательный колебательный контур рис 1

R – это эквивалентное ("виртуальное") активное сопротивление контура, характеризующее потери в реактивных элементах. При этом сами L и C, можно представить как идеальные без потерь.

È – синусоидальный источник, напряжение которого описывается уравнением È = Èmejωt , где ω– это конечно не число витков катушки, а круговая частота: ω = 2πƒ. Тогда ток в цепи: Ì = È / Ζ, где Ζ – полное комплексное сопротивление цепи, которое, как известно, для последовательной цепи определяется как сумма сопротивлений всех ее элементов

Ζ = R + (jωL + 1 / jωC) = R + jωX

Или, что тоже самое:

Ζ = ¦Ζ¦e,
где ¦Ζ¦ = √R2 + X2, φ = arctg(X / R), X = ωL - (1 / ωC)

Активную составляющую входного сопротивления R можно приближенно считать не зависящей от частоты генератора, хотя реально это совсем не так. Здесь работают факторы скин-эффекта, эффекта близости другие эффекты от которых зависит добротность. Но для получения представления как меняется реактивное сопротивление контура от частоты пока этими тонкостями можно пренебречь. Реактивная составляющая является функцией частоты и в зависимости от величины L, C, и ω изменяется по величине и знаку (рис2).

реактивное сопротивление колебательного контурарис 2

В точке ω0 контур попадает в режим, при котором
XC= - XL, X=0. Этот режим называется резонансом напряжений, при этом ω0L - 1/ω0C = 0, откуда


ω0 = 1/√LC или ƒ0 = 1/(2π√LC),

формула резонансной частоты контура, впервые выведенная сэром Вильямом Томсоном (1824 – 1907), великим английским физиком, более известным как лорд Кельвин, в честь которого названа шкала абсолютных температур.

В точке резонанса Ζ = R. Ток в цепи: Ì0 = È/R, напряжения на емкости и индуктивности равны и противоположны по знаку


UC = UL = ω00 = (1/ω0C)Ì0


При этом

UL0 = UC0 = ω0L = 1/ω0C = √L/C = ρ


ρ–характеристическое или волновое сопротивление контура.

Очевидно, что ρ » R, поэтому UC = UL » E, откуда и произошло название – резонанс напряжений. Т.е. амплитуда напряжения на реактивных элементах на резонансной частоте в десятки и сотни раз превышает амплитуду напряжения источника. Подобное явление наблюдается в механике, например маятник в часах, качели и носит общее название явление резонанса.

Это возрастание амплитуды характеризуется следующими соотношениями

UL/E = UC/E = ρ/R = Q


Q – безразмерная величина, носящая название добротности контура.

Обратим внимание на выражение Q = ρ/R = √L/C/R, из которого следует, что добротность должна расти при увеличении соотношения L/C. Однако, это не совсем так. Дело в том, что при увеличении L одновременно растет и R, ведь число витков и размеры катушки увеличиваются и, грубо говоря, увеличивается длина провода катушки и его омическое сопротивление. Поэтому зависимость величины добротности контура от соотношения индуктивности и емкости носит более сложный характер и простыми формулами не описывается. В начале мы пренебрегли "тонкостями" зависимости активного сопротивления контура от частоты, но здесь уже так легкомысленно поступать нельзя.

Вообще, конструкция контура для разных областей его применения разрабатывалась в основном энтузиастами радиолюбителями с паяльником в руках, интуицией и минимумом расчетов. Так было на заре развития радио. Тогда в результате экспериментов было установлено, что добиться хорошей чувствительности и избирательности приемника, например, можно применив контур с катушкой внушительных размеров. Потом уже с появлением малошумящих полупроводников и высокочастотных ферритов размеры перестали играть такое значение. Но и сегодня практический опыт нельзя оставлять без внимания, советую ознакомится с ним на этом форуме

Амплитудно-частотая характеристика тока в цепи колебательного контура описывается уравнением:

I/I0 = 1/√1+Q2(ƒ/ƒ00/ƒ)2

Фазочастотная характеристика определяется выражением:

φ = arctg[Q(ƒ/ƒ00/ƒ)]

Эти характеристики относительно нормированной частоты ω/ω0 приведены на следующем рисунке:Амплитудно и фазочастотные характеристики последовательного колебательного контура Из этих графиков видно, что колебательный контур можно использовать как частотно-избирательную или фазо-сдвигаюшую цепь.