О собственной емкости однослойной катушки индуктивности

На высоких частотах катушку индуктивности корректнее представлять в виде длинной однопроводной линии передачи, свернутой в спираль. Как известно, такая линия представляет собой структуру с распределенными по ее длине индуктивностью и емкостью. Когда длина такой линии равна λ/4 (λ - длина электромагнитной волны в катушке), она находится в резонансном режиме и частота, соответствующая этой длине волны называется частотой собственного резонанса катушки. Катушки очень редко работают на частотах близких к собственному резонансу или выше его. Однако если это происходит, например в ВЧ дросселях, расчет такой катушки желательно вести в ВЧ электромагнитных симуляторах [ссылка 1].

Колебательный контур - зквивалентная схема Обычно конструкция катушки выбирается такой, чтобы она работала на частотах намного ниже частоты собственного резонанса. Тогда ее с достаточной степенью точности можно представить в виде эквивалентной схемы из идеальных сосредоточенных элементов. В таком представлении параллельно катушке подключена ее паразитная собственная емкость. Эта емкость зависит от материала и формы каркаса, формы намотки, наличия экрана. Для упрощения задачи определим в первом приближении как форма намотки катушки влияет на ее паразитную емкость.

В процессе развития радиотехники неоднократно были предприняты попытки подобрать эмпирическую формулу для расчета собственной емкости. В разных справочниках можно найти разные формулы, от разных авторов, но чаще даже без указания источника. Какая же из этих формул более точная и правильная? Попробуем разобраться...

 

  • Начнем с того, что впервые проблему собственной емкости катушки поднял J. C. Hubbard в 1917 году. S.Butterworth, известный всем новатор и дизайнер схем частотной фильтрации (вспомните фильтры Баттерворта) в 1926 году предложил свою формулу расчета, но она имела серьезные ограничения и не могла рассчитывать короткие катушки.(Что имеется ввиду под термином "короткие", читайте в статье, посвященной добротности)
  • Предложен способ определения собственной емкости катушки с помощью косвенного измерения. Измеряются две резонансные частоты контура с двумя разными внешними конденсаторами и затем по результатам измерений вычисляется как собственная емкость катушки, так и ее индуктивность. Вот онлайн калькулятор реализующий этот метод. Способ точный (но не абсолютно, далее станет понятно почему...). Однако он требует наличия измерительных приборов. Кроме того, так можно определить собственную емкость уже готовой катушки, а нам желательно оценить этот параметр еще на стадии разработки конструкции.
  • Формула, предложенная инженером A. J. Palermo в 1934 году в работе "Distributed Capacity of Single-Layer Coils":
    Cs = k * D [1]
    Коэффициент k = 2 π / arccosh (p / d) где
    • Сs - собственная емкость (пФ);
    • D - диаметр катушки (см);
    • p - шаг намотки (см);
    • d - диаметр провода (см);
    Довольно часто встречается в различных справочниках (например "Колебательный контур Скрипников 1970"), однако как показал дальнейший опыт - формула не верна!межвитковая емкость катушки Палермо представлял катушку в виде электростатической структуры, в которой собственная емкость получалась как последовательная сумма ​​емкостей между соседними витками. Логичный вывод - раздвигая витки мы уменьшаем эту суммарную емкость.

    электрическое поле в соленоиде Несмотря на кажущуюся очевидность и наглядность, такой подход неверен. Основное заблуждение заключается в том, что катушка представлется как структура связанная с магнитным полем, забывая, что вокруг катушки существует электромагнитное поле - единая сущность, в которой векторы электрического и магнитного полей всегда перпендикулярны, электрическая и магнитная компоненты этого поля не могут существовать независимо друг от друга.
    Поскольку магнитные силовые линии идут в основном вдоль оси катушки, электрический вектор волны расположен почти перпендикулярно к оси, а компонента электрической составляющей поля, параллельная оси (между витками) практически не заметна (за исключением концов катушки), а как раз именно она соответствует межвитковой емкости, ведь как мы знаем - емкость характеризуется электрическим полем. 
    Да и почему катушка разбивается в этой модели на элементарные витки? Почему не на меньшие или большие части? Зачем городить огород, когда есть готовая теория цепей с распределенными параметрами.
  • Формула G.Grandi, опубликована в работе "Stray Capacitances of Single-Layer Solenoid Air-Core Inductors - Grandi, Kazimierczuk, Massarini and Reggiani 1999":
    Cs = ε0 π2 D /
    ((N-1) ln{ ( p/d ) + √[ ( p/d )2 - 1 ] })
    [2]
    где  N - число витков катушки; ε0 - диэлектрическая постоянная; D - диаметр катушки (см); p - шаг намотки (см); d - диаметр провода (см).
    Это была попытка современной реанимации электростатической модели катушки, которая, как показано в случае с формулой Палермо, далека от действительной картины. Это - яркий пример, когда "бумажная" теория не проверяется экспериментом и тем не менее выдается за истину. Из формулы следует вывод: чем больше витков имеет катушка, т.е чем длиннее она - тем меньше паразитная емкость, что абсолютно противоречит практике. Также можно найти в справочниках, например "Радиодетали, радиокомпоненты и их расчет Коваль 1977".

В 1947 году радиоинженер R.G.Medhurst - сотрудник исследовательской лаборатории компании "General Electric Co.Ltd." опубликовал ряд работ, связанных с экспериментальными исследованиями катушек индуктивности. В результате тщательных измерений паразитной емкости большого количества катушек, Medhurst пришел к выводу, что собственная емкость катушки слабо зависит от шага намотки и модель Палермо не работает. В свою очередь Medhurst обнаружил зависимость емкости от форм-фактора катушки (отношения длины намотки к ее диаметру l/D). На основании своих измерений Medhurst предложил свою полу-эмпирическую формулу:

Cs = H * D [3]

где  D - диаметр катушки (см), H - коэффициент, характеризующий форм-фактор катушки, был представлен в виде таблицы:

l/DHl/DHl/DH
50 5.8 5 0.81 0.7 0.47
40 4.6 4.5 0.77 0.6 0.48
30 3.4 4 0.72 0.5 0.50
25 2.9 3.5 0.67 0.45 0.52
20 2.36 3 0.61 0.4 0.54
15 1.86 2.5 0.56 0.35 0.57
10 1.32 2 0.50 0.3 0.60
9 1.22 1.5 0.47 0.25 0.64
8 1.12 1 0.46 0.2 0.70
7 1.01 0.9 0.46 0.15 0.79
6 0.92 0.8 0.46 0.1 0.96

Это просто данные реальных измерений. В последующем и самим Медхерстом и после него предлагались разные формулы, аппроксимирующие эти данные.Однако более известна самая простая формула для оценки собственной емкости катушек, которую предложил сам Медхерст:

Cs = 0.46 * D [4]
  • Cs - собственная емкость [пФ];
  • D - диаметр катушки [см];

Формулу [4] вполне можно применять на практике для оценки собственной емкости большинства практических конструкций катушек на гладких полистироловых каркасах.

Или еще проще - собственная емкость однослойной катушки в пФ численно приблизительно равна радиусу намотки в см.

Только надо помнить, что это справедливо при 0.5 < l/D < 2, в противном случае надо брать коэффициент из таблицы. Как видим в формуле нет упоминаний о шаге намотки.

Измерения Медхерста неоднократно подтверждались в последующем, при этом использовались разные измерительные стенды и разные методы. К слову сказать Медхерст проводил измерения паразитной емкости катушки методом двух частот, о котором я упомянул выше. Однако он был в плену модели катушки, основанной на теории сосредоточенных элементов и не смог объяснить результаты своих лабораторных измерений.

  • Существует как бы компромиссный подход к расчету собственной емкости катушки, в котором принимаются во внимание данные из вышеприведенной таблицы, однако наличие емкости между соседними витками не отрицается. Этот подход можно встретить в книге - "Детали контуров радиоаппаратуры, расчет и конструкция. В.А.Волгов 1954г.". Там используется такая формула:
    Cs = k * k1 * D [5]

    Коэффициенты k и k1 приводятся в виде графиков. Анализ этих графиков показывает, что коэффициент k формулы Волгова соответствует коэффициенту k в формуле [1] Палермо, а коэффициент k1 пропорционален 2*H в формуле [3] Медхерста. Этот "симбиоз" призван подтвердить наличие емкости между витками. Но как показали эксперименты Медхерста, коэффициент k - ложный. Ниже приведен график из работы Медхерста. Кривая Палермо соответствует коэффициенту k в формуле [1] или в формуле [5], а данные Медхерста - данные экспериментальных измерений.

    Собственная емкость катушки

    Волгов делает отступление, говоря что упрощенно можно считать по формуле Cs≈0,5*D. Но какое может быть упрощение, если коэффициент k меняется в его формуле [5] в десятки раз при раздвигании витков! Это просто неявный отказ от коэффициента k и межвитковой емкости с ним связанной.

  • Наиболее полной современной работой, посвященной паразитной собственной емкости катушки, является статья "The self-resonance and self-capacitance of solenoid coils Dr. David W Knight 2013" (G3YNH)
    Приведу несколько цитат из этой работы:

    David Knight G3YNHСуществует даже школа мысли, которая говорит, что собственная емкость катушки обусловлена ​​емкостью между соседними витками, и, хотя это отчасти верно для многослойных катушек, гипотеза оказывается безнадежно неверной моделью реактивного сопротивления однослойных катушек...

    Решение, конечно, заключается в признании, что катушка - это линия передачи, с той лишь разницей, что решение вопроса в случае свернутой линии оказывается довольно сложным...

    Тривиальные измерения подтверждают, что собственный резонанс катушки связан с общей длиной проводника. Поэтому странно, что собственная емкость однослойных катушек до сих пор обычно соотносится со статической емкостью которая предположительно существуют между соседними витками...

    Дэвид Найт в своей работе усовершенствует довольно упрощенную эмпирическую формулу Медхерста. Ведь по сути, нам необходимо найти электрическую длину длинной линии, а она зависит от длины проводника, которым намотана катушка. А длина проводника, в свою очередь, зависит не только от диаметра и длины намотки, но также и от шага намотки. В программе Coil32 реализован расчет собственной емкости однослойной катушки, основанный на работе Девида Найта без учета влияния каркаса. Подразумевается, что катушка работает на частоте много ниже частоты собственного резонанса и является бескаркасной. Приближенно можно считать, что наличие каркаса увеличивает емкость по сравнению с расчетной на 15..30%, каркас с канавками под провод увеличивает емкость до 40%, пропитка и обволакивание катушки лаком или клеем увеличивает емкость до 50% и выше.


Подводя итоги можно прийти к следующим выводам:
Понятие собственной емкости напрямую соотносится с частотой собственного резонанса катушки. Однако при рассмотрении физических процессов в однослойной катушке на частотах близких к частоте ее собственного резонанса необходимо отказаться от модели сосредоточенных элементов как несостоятельной и рассматривать катушку как линию передачи.
У обычной, "прямолинейной" линии передачи с малыми потерями, такие ее параметры, как погонная емкость и погонная индуктивность зависят исключительно от ее геометрии. В спиральной же линии, из-за влияния витков друг на друга, эти параметры являются кроме того еще и функцией частоты. Это обстоятельство приводит к таким важным последствиям:

  • Резонансные частоты такой линии хотя и жестко связаны с общей длиной проводника, которым намотана катушка, однако не кратны друг другу.
  • Собственная емкость катушки зависит от частоты на которой ее определяют. На низких частотах это одна величина, на частотах близких к собственному резонансу катушки - другая. Пренебречь влиянием частоты и вести речь о расчете собственной емкости катушки имеет смысл только тогда, когда катушка работает на частотах не превышающих 60-70% от частоты ее собственного резонанса. Справедливости ради надо отметить, что это относится и к расчету индуктивности! Ведь формулы расчета и того и другого основаны на предположении, что плотность тока во всех витках одинакова, что не имеет место при резонансе.
  • На частотах много ниже частоты первого резонанса можно для упрощения пользоваться моделью катушки из сосредоточенных элементов. Однако стоит не забывать, что собственная емкость в таком случае - это интегральная погонная емкость длинной линии и зависит от длины и формы намотки проводника. Именно эту «низкочастотную» величину собственной емкости вы можете видеть в результатах расчета Coil32. Использовать ее для расчета собственного резонанса катушки нельзя по причине, о которой говорилось выше.

Каким же образом геометрия катушки влияет на ее собственную емкость?

  • Собственная емкость однослойной катушки прямо пропорциональна ее диаметру.
  • Оптимальной катушкой в плане паразитной емкости (емкость - минимальна), является катушка с l/D ≈ 1. Такая же катушка оптимальна и в плане добротности. Это понятно, ведь катушка с такой геометрией намотки имеет максимальную индуктивность при минимальной длине провода.
  • Как показано выше, увеличение шага между витками практически не оказывает влияния на величину собственной емкости. Изменяя шаг намотки, мы прежде всего меняем индуктивность катушки, а не ее собственную емкость. Это происходит от того, что соседние витки взаимодействуют друг с другом преимущественно через магнитное поле, а не через электрическое.

Можно также отметить следующие моменты:

  1. Наличие диэлектрика рядом с проводом катушки, будь то изоляция провода, каркас, клей, компаунд, меняет параметры длинной линии (погонная емкость, волновое сопротивление, коэффициент укорочения), что эквивалентно изменению собственной емкости катушки. Наличие близлежащих деталей конструкции или экрана оказывает подобный эффект.
  2. Широко применявшийся ранее метод намотки дросселя с прогрессивным шагом, основанный на электростатической модели катушки, абсолютно бесполезен в плане уменьшения его собственной емкости. Об этой, не имеющей смысла технологии намотки ВЧ дросселей упоминается даже в Википедии в разделе "Конструкция", что говорит о преобладании электростатической модели катушки в массовом сознании радиолюбителей и специалистов в области радиотехники. Справедливости ради стоит отметить, что "прогрессивная" намотка имеет смысл только для уменьшения вероятности межвиткового пробоя дросселя, работающего в режиме с большим градиентом напряжения вдоль его длины.
  3. Шаг намотки слабо влияет на паразитную емкость катушки, но за счет эффекта близости является существенным фактором, влияющим на добротность, поэтому им пренебрегать нельзя. Часто встречается утверждение, что пресловутая межвитковая емкость обуславливает уменьшение добротности. Хочу акцентировать внимание, что эффект близости, уменьшающий добротность катушки, обусловлен взаимодействием ВЧ тока с магнитным полем от соседних витков и никак не связан с межвитковой емкостью, которая характеризуется электрическим полем. Конечно же добротность катушки взаимосвязана с ее собственной емкостью, но никак не с емкостью между соседними витками.
  4. Все вышесказанное относится прежде всего к однослойным катушкам. У многослойных катушек и катушек на ферритовых кольцах статическая компонента собственной емкости становится преобладающей.

Литература по теме:

  1. Filters and an Oscillator Using a New Solenoid Model, Randy Rhea, Applied Microwave & Wireless, Nov 2000,p30-42.
  2. EM Wave Propagation on Helical Conductors, S Sensiper, Tech. Report No. 194, May 1951, MIT Research Lab. of Electronics.

Ссылки:

  1. Моделирование анодного дросселя как распределенной структуры - И.Гончаренко 2007-2012
  2. Паразитные резонансы в катушке П-контура И.Гончаренко
  3. Высокочастотные катушки, винтовые резонаторы и увеличение напряжения из-за когерентных пространственных мод 2001г. (Оригинал статьи здесь)