Формулы расчета параллельного колебательного контура

Параллельный колебательный контур в радиотехнике используется как основа частотно-избирательных цепей и встречается намного чаще последовательного. Реальные элементы контура обладают потерями и при анализе цепи используется реалистичная модель из идеальных сосредоточенных элементов в которой потери учитываются с помощью «виртуальных» последовательных активных сопротивлений RL и RC.параллельный колебательный контур

Собственная паразитная емкость катушки обычно не учитывается, т. к. она просто суммируется с контурной. Программа Coil32 рассчитывает потери в проводе катушке RL без учета потерь в каркасе, экране, сердечнике и во всех предметах, с которыми взаимодействует окружающая катушку электромагнитная волна. Однако, учитывается скин-эффект и эффект близости. Эти же потери учитывает параметр «конструктивная добротность катушки» - QL. Это не добротность всего контура, а добротность катушки, которая связана с ее сопротивлением потерь следующим соотношением:добротность катушки индуктивности

Потери в контурном конденсаторе на порядок меньше и характеризуются добротностью конденсатора. Поскольку потери конденсатора сосредоточены в основном в диэлектрике, можно считать, что его добротность QC и сопротивление потерь RC связаны с параметром, учитывающем потери в диэлектрике tgδ, следующим образом:добротность конденсатора

При анализе цепи часто ее преобразуют в эквивалентную параллельную RLC-цепь. В этом случае, заменяя сопротивления проводимостями, мы упрощаем анализ и получаем формулы идентичные формулам последовательного контура. Многие радиолюбители полагают, что последовательные RL и RC просто преобразуются в параллельное R. Это не так:преобразование последовательной цепи в параллельную

Как видим активные сопротивления и реактивности при таком преобразовании «перепутались», поэтому для наглядности проведем анализ без использования проводимостей, прямо по исходной схеме. Входное сопротивление двухполюсника получается следующим:входное сопротивление параллельного контура

Активная и реактивная (мнимая) составляющие:входное сопротивление параллельного контуравходное сопротивление параллельного колебательного контура

При резонансе токи в реактивных элементах (IL, IC) в Q раз больше общего тока цепи (I), поэтому для параллельного контура явление носит название резонанса токов.

Резонансная частота параллельного колебательного контура — это частота, при которой реактивная составляющая входного сопротивления равна нулю, входное сопротивление чисто активно, и, соответственно, фазовый сдвиг между током и напряжением на входных зажимах цепи тоже равен нулю. Приравняв Xвх к нулю и проведя соответствующие преобразования получим следующую формулу для резонансной частоты параллельного колебательного контура:

резонансная частота параллельного колебательного контура [1]

Один из важнейших параметров контура - его характеристическое сопротивление:

ρ = √L/C

Формулу резонансной частоты можно представить иначе:резонансная частота последовательного колебательного контураω0 - резонансная частота последовательного колебательного контура.

Как видим резонансная частота параллельного колебательного контура равна резонансной частоте последовательного колебательного контура, составленного из тех же элементов, с добавкой поправочного коэффициента √[(L/C - RL^2)/(L/C - RC^2)]. На практике этот коэффициент всегда близок к единице и равен единице если RL=RC или RL=RC=0.

Пример:

Имеем контур с индуктивностью 3μГн и емкостью 42пФ, сопротивление потерь катушки — RL=2 Ом, конденсатора — RC=0.1 Ом. По формуле Томпсона резонансная частота контура равна 14.178649 МГц, точно вычисляем по формуле [1] — 14.178253 МГц. Как видим, активные сопротивления потерь вносят в идеальный контур дополнительную реактивность и уводят его частоту вниз, в данном случае почти на 400 Гц.

Это совсем небольшое отклонение нужно иметь ввиду, но оно намного меньше отклонений, вносимых неучтенными паразитными емкостями. Поэтому при выполнении условий: RL<< ρ, RC<< ρ, что обычно бывает на практике, можно считать, что условия резонанса токов совпадают с условиями резонанса напряжений в последовательном контуре, составленном из тех же элементов L и C,

ω0 = 1/√LC или ƒ0 = 1/(2π√LC)

На этом "родственная схожесть" последовательного и параллельного контуров не заканчивается.
При выполнении тех же условий:
RL<< ρ, RC<< ρпараллельный колебательный контур
где Z
вх.посл = (RL + RC) + j(ωL - 1 ⁄ ωC) – входное сопротивление последовательного контура, составленного из тех же элементов.

  • RΣ = RL + RC;

Как видим, можно считать, что сопротивления потерь катушки и конденсатора суммируются, поэтому общую добротность контура Q можно определить следующим выражением:image115

На резонансной частоте ω0:image106
Поскольку реактивные сопротивления взаимно компенсируются, контур на резонансной частоте имеет чисто активное сопротивление равное Rэ (эквивалентное или эффективное сопротивление контура)


Амплитудно-частотная характеристика имеет такой же вид, как и резонансная кривая последовательного контура; ФЧХ представляет собой зеркальное отображение ФЧХ последовательного контура.АЧХ параллельного колебательного контура


Важно понятие полоса пропускания контура Это частотный интервал в пределах которого импеданс Zвх не ниже 1 ⁄ √2 (или 0,707) от максимального на резонансной частоте. Справедлива формула:

Q = f0/Δf


В практике представляет интерес величина ослабления контуром нежелательных частот:image108

Для расстроек более трех полос пропускания формула упрощается:image109

где знак не учитывается.



В реальной схеме контур связан с источником колебаний и нагрузкой, которые вносят в него дополнительные потери, снижающие добротность. Эквивалентная добротность Q параллельного колебательного контура:


Q = Q0·Ri ⁄ (Rэ + Ri)

  • Q0 - добротность ненагруженного контура
  • Ri - входное сопротивление источника
  • Rэ - эквивалентное сопротивление ненагруженного котура


Эту формулу можно использовать для учета влияния любых подключенных к контуру сопротивлений (например, нагрузки) на его добротность.


Для уменьшения влияния внешних цепей, а также для трансформации сопротивлений применяют частичное включение нагрузки в контурimage110

Как видно из рисунка это можно сделать различными способами, отводом от катушки, с помощью катушки связи, емкстным делителем. Тогда выходное сопротивление контура:
Rвых = p2Rэ
где p
коэффициент связи. Для емкостного делителя:
p = C1 ⁄ (C1 + C2)
Для индуктивной связи:
p = M ⁄ L
где M — полная взаимоиндуктивность между L
c и L (это относится как к случаю с отводом катушки так и к случаю с катушкой связи). Следует отметить, что коэффициент связи не равен отношению числа витков, как в трансформаторе, поскольку каждый виток катушки Lc пересекается не всеми силовыми линиями катушки контура вследствие рассеяния магнитного поля.

При подключении внешней нагрузки к контуру с помощью частичного включения, результирующая добротность определяется:
Q = Q0·Ru ⁄ (Rэ + Ru)

Ru = p2Ri (Ri – внешняя нагрузка)

Следует отметить, что для максимального коэффициента передачи электромагнитной энергии, выходное сопротивление контура должно быть равно сопротивлению нагрузки. Все вышесказанное справедливо и в случае согласования контура с источником сигнала.