Language:

Справка по Coil32

Сейчас на сайте

Сайт существует
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.75 [2 Голоса (ов)]

Расчет индуктивности однослойной катушки

Однослойная катушка индуктивности представляет собой провод, свернутый в спираль. Для придания жесткости, провод обычно наматывают на цилиндрический каркас. Поэтому в Coil32 в качестве исходных параметров приняты размеры каркаса и диаметр провода, т.к. их легче измерить практически. В расчетных формулах, однако, используются геометрические параметры самой спирали. Во избежании путаницы на этой страничке справки можно подробнее ознакомиться с этими тонкостями.

Однослойные катушки получили широкое распространение, особенно для конструкций коротковолнового и средневолнового любительских и радиовещательных диапазонов. Основные свойства однослойных катушек — высокая добротность, относительно небольшая собственная емкость, удобство изготовления. Рассмотрим методы расчета такой катушки без промежутка между витками - "виток к витку"...


Модель Лоренца для соленоидаНачнем с того, что в конце XIX века Х.А.Лоренц вывел формулу с применением эллиптических интегралов для расчета соленоида. Отличием модели Лоренца от модели Максвелла являлся тот момент, что витки соленоида представлялись не бесконечно тонким круговым проводом, а бесконечно тонкой спиральной проводящей лентой с шириной равной реальной толщине провода, без промежутка между витками. Формула имеет высокую точность при расчете реальной катушки в случае если последняя имеет большое количества витков и имеет намотку виток к витку. В 1909 г. японский физик Х.Нагаока преобразовал формулу Лоренца и привел ее к виду из которого следовал важный вывод - индуктивность соленоида зависит исключительно от формы и размеров катушки. Формула Нагаока имеет следующий вид:

Формула Нагаока [2]

, где

  • Ls - индуктивность катушки
  • N - число витков катушки
  • r - радиус намотки
  • l - длина намотки
  • kL - коэффициент Нагаока

Важнейшим выводом из анализа этой формулы был тот, что коэффициент Нагаока зависел только от отношения l/D, который был назван форм-фактором катушки. Коэффициент Нагаока вычислялся с применением эллиптических интегралов. Подробнее на этой формуле останавливаться не будем, т.к. Coil32 ее не использует в расчетах. Стоит только отметить, что в случае длинного соленоида формула упрощается до следующего вида:

формула индуктивности соленоида [3]

где S - площадь поперечного сечения катушки. Эта формула имеет только академический интерес и не пригодна для расчетов реальных катушек, т.к. справедлива только для бесконечно длинных соленоидов, которых в природе не существует.


Однослойную катушку можно рассчитать численным методом, используя формулу Максвелла или формулу Нагаока для соленоида. Однако современные эмпирические формулы дают очень высокую точность расчетов и вполне достаточны для практических целей.


Обзор и выбор эмпирических формул начнем с самой известной формулы Г.Вилера. Обычно именно эта формула чаще всего используется в различных программах, онлайн калькуляторах, справочниках и статьях, посвященных расчетам индуктивностей.

В оригинале эта формула выглядит так:

L = a2 N2 / ( 9 a + 10 b )


где N - число витков, а a и b - соответственно радиус и длина намотки катушки. Размерности в дюймах. Адаптировав эту формулу для метрической системы (вернее сказать для СГС) и поменяв радиус на диаметр, получаем следующее:

Формула Вилера для однослойной катушки [4]

, где

  • L - индуктивность катушки
  • n - число витков катушки
  • D - диаметр намотки
  • l - длина намотки

Все размеры в сантиметрах, индуктивность в микрогенри.

Это самый известный у нас вариант этой формулы. Раньше на сайте С.-Петербуржского университета телекоммуникаций - sut.ru был довольно информативный ресурс - dvo.sut.ru, на котором можно было найти много информации о катушках индуктивности, включая и эту формулу. Теперь это ресурс к сожалению удален. Но удалось обнаружить клон этого ресурса на qrz.ru, на который перекочевала даже старая ошибка (0,5ё1.0) в формуле 2.37. Там можно найти и формулу Нагаока (формула 2.28) и выражение коэффициента Нагаока через формулу Вилера (формула 2.29).

Формула была предложена Вилером в далеком 1928 году, когда еще о компьютерах только мечтали и была очень полезна в то время, т.к. позволяла "в столбик" на бумажке рассчитать практическую катушку. Формула "укоренилась" в массовом сознании радиолюбителей. Однако мало кто знает, что она, как любая эмпирическая формула, имеет ограничения. Эта формула дает погрешность до 1% при l/D > 0,4, т.е если катушка не слишком короткая. Для коротких катушек эта формула не пригодна.


Последовало несколько попыток устранить этот недостаток. В 1985 г. Р.Лундин опубликовал две свои эмпирические формулы, одна - для "длинных", другая - для "коротких" катушек, позволяющие рассчитать коэффициент Нагаока с точностью не менее чем 3ppM (±0.0003%), что несомненно выше точности изготовления или измерения индуктивности катушки. Вот калькулятор, основанный на этих формулах.
В 1982 г., спустя 54 года, с наступлением эры компьютеров, Вилер опубликовал свою "длинную" формулу, которая рассчитывала однослойную катушку с погрешностью не более ±0.1%, как длинную, так и короткую. В дальнейшем эта формула была усовершенствована Р.Розенбаумом, а в последствии Р.Вивером (Robert Weaver - анализ и вывод формулы у него на сайте).

Формула Б.Вивера для однослойной катушки [5]

где:

  • Dk - диаметр намотки
  • N - число витков
  • k = l/Dk - форм-фактор катушки, отношение длины намотки к ее диаметру

В результате мы имеем формулу, позволяющую рассчитать однослойную катушку с точностью не менее 18.5 ppM (в сравнении с формулой Нагаока), что хуже чем по формулам Лундина, но во-первых вполне достаточно для практических расчетов, во-вторых мы имеем одну более простую формулу вместо двух, рассчитывающую однослойную катушку независимо от ее форм-фактора.

Формула [5] и используется в онлайн-калькуляторе однослойной катушки, старых версиях Coil32, а также во всех версиях программы для Linux и в J2ME приложении для мобильных телефонов.

В основной версии Coil32 v11.5.1.705 для Windows, а также начиная с версии 3.0 для Android, применена более сложная методика расчета однослойной катушки, учитывающая спиральную форму витков и произвольный шаг намотки.


В 1907 году Э.Роза, сравнивая расчеты по методу Максвелла и по методу Лоренца, вывел таблицу поправок, существенно увеличивающих точность расчета по методу Лоренца, особенно если катушка имеет небольшое число витков. Эти поправки стали именоваться "поправки на круглость провода" - Round Wire Corrections. В дальнейшем эти поправки использовались для увеличения точности расчета коэффициента Нагаока и эмпирических формул Лундина и Вивера. В 2008 г. Р.Вивер создал эмпирический алгоритм, позволяющий численным методом рассчитать "поправки на круглость провода" не прибегая к помощи таблиц. Этот алгоритм применяется в Coil32 начиная с версии 8.0, в онлайн-калькуляторе, а также в версиях Coil32 для Андроид и J2ME, для увеличения точности расчета индуктивности однослойных катушек.


Кроме индуктивности, как основного параметра однослойной катушки, программа Coil32 вычисляет и другие параметры:

Этих данных вполне достаточно для создания реалистичной модели катушки в программах схемотехнического моделирования. Например, в популярных RFSim99 или LTSpice IV. В RFSim99 необходимо поставить галочку в чекбоксе "Вкл. физ. модель" и ввести частоту собственного резонанса и добротность. Тип добротности необходимо выбрать третий - Q(f)=Q(F). В LTSpice необходимо задать Rser - это наше сопротивление потерь (r) и Cpar - это собственная емкость катушки Cs.

Кроме того можно рассчитать дополнительные результаты для параллельного колебательного контура на рабочей частоте. Характеристическое сопротивление такого контура равно реактивному сопротивлению катушки на рабочей частоте.

Назад...      Вперед...

Комментарии   

Hale
#1 Hale 19.03.2018 07:35
непонятно, учитывает ли детальная теория, Нагаока, или какая-либо другая частотные факторы:
1)Изменение собственной индуктивности провода в зависимости от частоты вследствие изменения скин-слоя.
2)фазовую задержку в зависимости от длины катушки, угла намотки к ее оси, и частоты.
Я почти точно знаю, что фактор 2 не учитывается, однако является существенным для длинных катушек на ВЧ и любых катушек на СВЧ. (см. чудовищные непереводимые выкладки у Вайнштейна для тонких и бифилярных спиралей на СВЧ, и это еще не полная теория без учета однородного резонанса и сердечника и связи мод катушки с пространсвенной / диэлектрической модами)
А вот с фактором 1 я теряюсь. Казалось бы, собственная индуктивность провода исчезает из уравнений, замещаясь на длину намотки. Но только в том случае, если проводник тонкий (Максвелл), или плотность тока однородна (Лоренц). А это не так.
Хотелось бы этот вопрос прояснить.
Цитировать
Coil32 admin
#2 Coil32 admin 19.03.2018 21:09
1.Здесь рассматриваются методы расчета сосредоточенных индуктивностей с малыми потерями, работающими на частотах не выше 60% от частоты собственного резонанса. В этом случае:
1)Плотность тока во всех витках практически однородна, поскольку на этих частотах можно пренебречь конечной скоростью передачи электромагнитно го взаимодействия. Погрешность расчетов при таком допущении не превышает погрешности самих формул расчета.
2)При малых потерях можно пренебречь влиянием активных потерь в катушке на ее реактивное сопротивление. Другими словами влияние изменения толщины скин-слоя на реакивную составляющую входного импеданса катушки можно не учитывать. Это же правило, как известно, аналогично действует и в теории длинных линий с малыми потерями.
3)Форма намотки и ее длина естественно учитываются, поскольку как показал Нагаока, индуктивность катушки зависит исключительно от формы намотки. В статье выше четко написано, что программа учитывает спиральную форму витков и произвольный шаг намотки (следовательно угол намотки к оси тоже учитывается). Частота не учитывается по причине изложенной в п.1) Вообще, частота и форма намотки - это две большие разницы, а у вас во втором вопросе - это одна сущность. Это не так.
2.Все вышеизложенное в предыдущих пунктах становится неверным при работе катушки вблизи частоты собственного резонанса и тем более выше этой частоты, поскольку в таком случае ее уже нельзя считать сосредоточенной индуктивностью с однородной плотностью тока. В этом случае нужно работать непосредственно с общими уравнениями электромагнитно го поля Максвелла. Помочь в исследовании катушек, работающих в этом режиме могут электромагнитны е симуляторы (CST STUDIO, HFSS и т.п.)
Подробнее:
http://coil32.ru/self-resonance-frequency.html
http://coil32.ru/self-capacitance.html
Более точный метод расчета входного импеданса катушки с учетом влияния частоты:
www.g3ynh.info/zdocs/comps/Zint.pdf
Цитировать
Hale
#3 Hale 22.03.2018 07:06
1) это не совсем так. катушки в несколько десятков микрогенри могут иметь резонанс около 10 МГц. Но уже на 1 МГц скин слой 65 микрон.
Так что " 60% от частоты собственного резонанса.... Плотность тока во всех витках практически однородна" мягко говоря неправда. Может быть она одинакова, но далеко не однородна. И меня как раз интересует именно этот случай.
2)"При малых потерях можно пренебречь влиянием активных потерь в катушке на ее реактивное сопротивление. "
По правде, тут не совсем ясно. Вы говорите о диэлектрических потерях. Но у высокочастотных катушек тонкий провод с большим сопротивлением. Я не знаю как у катушек, но у кабелей на НЧ тоже можно пренебречь проводимостью диэлектрика(тан генсом потерь). Да вот только раскладывая Z=SQRT(R+jwL)/S QRT(G+jwC), G~0, мы обнаружим зависимость Z(обе комлпексные части) и от w и от отношения R/L. Поскольку катушка это тоже своего рода длинная линия, я подозреваю вклад омического сопротивления провода и в R_потерь и в L.
Цитировать
Hale
#4 Hale 22.03.2018 07:08
>"Вообще, частота и форма намотки - это две большие разницы, а у вас во втором вопросе - это одна сущность"
НИ коим образом. Просто перечислил вопросы и затруднения. Так получилось, что мне для метрологии нужны хотя-бы приближенные, но фундаментальные зависимости этих параметров от частоты. Для вычисления параметров катушки на основе многочастотных измерений в широком диапазоне.

Кстати, для интересующихся катушками выше резонанса, хочу посоветовать COMSOL, нежели чем HFSS. В таких задачах COMSOL показал себя гораздо лучше, а HFSS из-за затруднений меширования неправильно находит, или теряет из вида характеристичес кие резонансы выше фундаментальног о.
Цитировать
Hale
#5 Hale 22.03.2018 07:44
Спасибо большое за статью Найта. Это то, о чем я говорил. К сожалению, она не охватывает влияние эффекта на катушку, равно как и эффект перераспределен ия плотности в изогнутых витках.
Хотя, если прикинуть на пальцах, то как раз в катушке токи перераспределяю тся ближе к Лоренцовской модели... Тогда нужен лишь какой-то фактор высокочастотной коррекции диметра намотки.
Цитировать
Coil32 admin
#6 Coil32 admin 22.03.2018 13:19
Мы говорим несколько о разных вещах, поэтому давайте расставим все точки над i поскольку мне кажется я наконец понял суть вашего вопроса.
1)Вас интересует распределение плотности тока по поверхности провода в радиальном направлении, ее изменение с частотой и влияние этого явления на величину индуктивности. Это распределение действительно неоднородно уже на низких частотах, давно исследовано экспериментальн о и носит название эффекта близости (proximity effect). Поэтому, я имел ввиду однородность плотности тока по длине провода. Имеется ввиду интегральная плотность тока по его сечению на единицу длины. Однородность этой плотности имеет место на низких частотах, много меньших частоты первого резонанса и с небольшой погрешностью так можно считать до 60% от частоты резонанса.
2)Действительно, потери в проводе влияют на величину индуктивности. Вы правильно изложили математические выкладки. Понятие "малые потери" возникает тогда, когда ωL>>R. В однослойной катушке омическое сопротивление на два порядка меньше реактивного уже с учетом скин-эффекта и эффекта близости, поэтому ее можно считать линией с малыми потерями. Если в длинной линии потери сравнимы с погонной реактивностью, то ее погонная емкость и индуктивность и, следовательно, волновое сопротивление зависят от частоты. При малых потерях этой зависимостью можно пренебречь и параметры линии определяются только ее геометрией. Когда вы покупаете коаксиальный кабель волновым сопротивлением 75 Ом, вы же не уточняете на какой частоте оно такое и какое на другой потому что это линия с малыми потерями.
3)Любая математическая модель физического явления подразумевает упрощение реальности. Вопрос только в том, чем можно пренебречь не потеряв существенно точность расчета. Критерий - практика и эксперимент. При расчете ускорения падающего шарика с пизанской башни нам по сути не нужно учитывать притяжение Юпитера. Касательно катушки, в модели Максвелла форма провода упрощается до бесконечно тонкой нити, в модели Лоренца - до бесконечно тонкой ленты. Обе модели не учитывают неравномерность плотности тока не только "по ширине", но и по длине провода. Поскольку все математические выкладки о потокосцеплении начиная от интеграла Неймана подразумевают одинаковую плотность тока во всех витках, как при постоянном токе. Поскольку длина провода намного больше длины его окружности, то влияние неравномерности плотности тока вдоль длины провода на несколько порядков больше. Д.Найт в своей статье попробовал с помощью эмпирических формул учесть это влияние с целью уточнения расчета индуктивности на частотах близких к первому резонансу.
4)COMSOL действительно лучше всех симуляторов учитывает эффект близости. Но в любом случае, имхо, влиянием этого эффекта на величину индуктивности в большинстве практических применений однослойной катушки можно пренебречь как притяжением Юпитера на падающий шарик. Ни в части неучета этого эффекта в фундаментальных формулах, ни в части влияния активных потерь на величину индуктивности. Но возможно в метрологии такой подход неприемлем, я не в этой теме, спорить не буду. Погуглите в таком случае по запросу "Inductance formula with proximity effect", вот что можно найти:
upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/100354/Manuscript_Rev1_2016_08_31.pdf
Цитировать
Hale
#7 Hale 23.03.2018 02:51
Большое спасибо за обсуждение. В общем, со всем согласен. Сложность была только в причесывании мыслей. Работать приходится между областями высокочастотных и низкочастотных приближений, и не совсем было понятно чем лучше пренебречь, а что добавить в модель. А это в частности влияет на количество уравнений в системе и контрольных измерений для подстановки.
Цитировать
Hale
#8 Hale 23.03.2018 04:28
Кстати, как вы думаете, насколько сегодня точна статья Кохена , на которую ссылаются Копелли и Рыба по вашей ссылке?
https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/bulletin/04/nbsbulletinv4n1p161_A2b.pdf
Еще 110 лет назад Копелли на пальцах проанализировал отклонение индуктивности и сопротивления соленоида. Правда там довольно грубые допуски в волновом числе токов Фуко, при котором потери приравниваются постоянной распространения , что позволяет упростить корень, и пр.
Неприятность в том, что добавочная индуктивность зависит от частоты как 1-1/f^2(на ВЧ), а сопротивление как корень частоты.
Цитировать
Coil32 admin
#9 Coil32 admin 27.03.2018 11:06
Извините, сейчас просто нет времени углубляться в проблему. Я бы взял за основу статью Найта. Вернее это входит в мои планы по усовершенствова нию расчетов однослойной катушки.
Цитировать

Добавить комментарий

Все посты предварительно модерируются. Посты, подписанные несуществующим E-mail опубликованы не будут.