Расчет многослойной катушки индуктивности

Чаще всего в различных программах многослойная катушка индуктивности рассчитывается по простой эмпирической формуле Вилера (H. A. Wheeler):

формула расчета многослойной катушки индуктивности

  • L - индуктивность (мкГн)
  • N - число витков катушки
  • R - средний радиус намотки (мм)
  • l - длина намотки (мм)
  • c - толщина намотки (мм)

В предыдущих версиях Coil32 эта формула также использовалась.
Расчет многослойной катушки Но... Любая эмпирическая формула, не отображающая реальные физические явления, а просто подобранная в соответствии с какими либо данными измерений, имеет ограничения точности расчетов. Причем в данном случае ограничения довольно серьезные. Дело в том, что формула Вилера с достаточной точностью (±1%), считает только катушки с ограниченной геометрией намотки. Что это значит? Это значит, что поперечный разрез намотки катушки должен иметь по возможности квадратную форму. Другими словами, длина намотки "l" должна быть примерно равна толщине намотки "c". Но если принять во внимание, что формула кроме того не учитывает толщину изоляции провода, то заявленный 1% погрешности расчетов значительно увеличивается даже при "дружелюбной" к формуле геометрии намотки. Введение так называемых "коэффициентов неплотности намотки" не спасает ситуацию. На практике же довольно часто приходится изготавливать "длинные" катушки, у которых длина намотки значительно больше толщины, с небольшим числом слоев. Такие катушки формула считает совершенно неправильно. Предельный случай, когда многослойная катушка превращается в однослойную. Расчет по вышеприведенной формуле дает абсолютно неверный результат!

многослойная катушка Зачем же тогда вообще пользуются такой ограниченной формулой? Дело в том, что на самом деле многослойная катушка с квадратным поперечным сечением обмотки является оптимальной. Средний радиус намотки (R) такой оптимальной катушки по разным источникам должен удовлетворять соотношению: 2R/c = 3..3.7. При такой геометрии намотки получается максимальная индуктивность при минимальной длине провода. Как следствие - потери в такой катушке тоже минимальны, что немаловажно, например при конструировании фильтров самодельных акустических систем.
Можно конечно "заточить" программу для такого конкретного расчета, как это сделано в CoilCalc или CEC v0.6, но Coil32 претендует на универсальность, поэтому для нее такой путь неприемлем.

Какое же решение проблемы?
Можно воспользоваться более точными эмпирическими формулами, например опубликованными в книге "Radio Engineer's Handbook - 1943 F. M. Terman pp 60..63". Предлагаются формулы для коротких и длинных катушек с расчетными коэффициентами сведенными в таблицу. Можно воспользоваться и другими эмпирическими формулами. Тысячи их!
Но... Во-первых - мы снова имеем дело с эмпирическими формулами, которые в силу своей ограниченности где-то опять будут считать неправильно, во-вторых - такой метод расчета был приемлем в середине XX века, когда надо было пользоваться карандашом, бумагой, табличными данными и считать в столбик. В наш век, когда по закону Мура вычислительная мощность компьютеров удваивается каждые два года, можно воспользоваться более точным алгоритмом.

Д.К.Максвелл Что же это за более точный алгоритм? Это численный метод расчета, основанный на формулах, предложенных еще в конце XIX века гениальным физиком Д. К. Максвеллом, создателем теории электромагнитного поля, в его знаменитой работе - «Трактат об электричестве и магнетизме».
(Maxwell, James Clerk; "A Treatise on Electricity and Magnetism", Vol. 2, Third Edition, Dover 1954. Art. 701, "To find M by Elliptic Integrals", pp. 338-340.)
Максвелл дает формулу для расчета взаимной индуктивности двух соосных бесконечно тонких круговых проводников:

Уравнения Максвелла для взаимной индуктивности

M - взаимоиндукция, r1, r2 - радиусы намотки проводников, , k - коэффициент, зависящий от расстояния между ними. K и E - эллиптические интегралы первого и второго рода.
Это, можно сказать, базисная формула, отображающая реальную физику. Попутно отметим, что именно Максвелл вывел размеры оптимальной многослойной катушки в этой же фундаментальной его работе.

Многослойную катушку можно представить как большое количество таких соосных, свернутых в круг проводников. Посчитав собственную индуктивность каждого витка, а также взаимоиндукцию каждой возможной пары витков и просуммировав это все, мы получим собственную индуктивность многослойной катушки. Такой расчет под силу современным компьютерам. Необходимо также учесть поправку на то, что реальный провод не бесконечно тонкий. Работа по созданию такого программного алгоритма была проделана канадским радиолюбителем Бобом Вивером (Robert Weaver) в 2012 году, а также бразильским фанатом катушек Тесла Dr. Antônio Carlos M. de Queiroz в 2005 году.

Расчет многослойной катушки Расчет многослойной катушки в Coil32 (версия не ниже v8.0) основан на этих решениях. В программе можно выбрать один из стандартных типов и размеров провода и она автоматически подставит толщину изоляции для него. Предполагается, что намотка ведется плотно, виток к витку, "кривизна рук" не учитывается.

d -диаметр провода по меди;
k - диаметр провода по изоляции, или расстояние между центрами соседних витков


Витки "программно наматываются" до достижения нужной индуктивности, при этом последний слой может быть неполным. Попутно рассчитывается общая длина провода и его сопротивление постоянному току. Этот же алгоритм расчета реализован в онлайн калькуляторе многослойной катушки.

Конечно же предполагается, что намотка имеет вид как на рисунке. Можно намотать и так, что в последующем слое провод будет попадать в канавки между проводами предыдущего, т.е еще плотнее. Как ни парадоксально, но требуемое число витков при этом даже увеличивается из-за уменьшения среднего радиуса намотки! А можно использовать намотку "универсаль" или вообще в навал - как придется. В таком случае проще измерить, чем рассчитать и расчет по любой программе получается только оценочным.

Ссылки по теме:

  1. Numerical Methods for Inductance Calculation - Robert Weaver 2012
    (Part 1 –> Elliptic Integrals -> Multi-Layer Coils)
  2. Classical Calculation for Mutual Inductance of Two Coaxial Loops in MKS Units - Kurt Nalty 2011
  3. Mutual Inductance and Inductance Calculations by Maxwell’s Method - Dr. Antônio Carlos Moreirão de Queiroz 2005

 Назад...      Вперед...